《时间之问》是一部作者和学生对话交流的“记录”,选取“时间”作为跨学科讨论的媒介,联接起数学、天文、历史、集成电路、中国古代文化等不同学科,这些话题像一颗颗散落的珍珠,被“时间”这根主线串联起来。这里既可以遇到祖冲之、郭守敬、庞加莱、Price等大科学家,也会发现庄子、博尔赫兹、史铁生、柏拉图等文哲大家。

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青少年参观“两弹一星”功勋人物肖像画展


在第二个全国科技工作者日到来之际,中国科技馆,“两弹一星”功勋人物肖像画展、朱载堉科学艺术成就展日前开幕。中国科技馆还结合“与科技工作者共话未来”主题,策划推出了系列展厅特色教育活动,用这种方式度过科技工作者日。

《时间之问21》登上《Nature》的音律高人(上)

院士和科普志愿者共同“庆生”

引子:100多年前,著名科学期刊《Nature》刊登了一封来自遥远东方学者的来信,探讨并指出了西方声学著作《声学》中的一个错误。《Nature》的编辑和审稿人惊奇地发现这个问题早在数百年前就被明朝朱载堉研究过,并且是以如此简单的实验方法得到的。

国务院于2016年批准将每年5月30日设立为“全国科技工作者日”,旨在促进广大科技工作者牢记使命责任,瞄准建设世界科技强国的宏伟目标,创新报国。作为今年系列主题活动的第一场,“与科技工作者共话未来”科学生日会5月26日举行。著名地质学家、中国科学院院士刘嘉麒结合自身成长经历,为观众做了题为“人生当自强——留下消失的背影”的讲座,并与科研工作者代表、科技辅导员代表、小小志愿者代表互动交流,寄语青少年:“多读书、多走路、多吃苦,凭着百折不挠的意志力一步一个脚印,走自己的路,为国家做出贡献。”


之后,刘嘉麒院士还和科技馆辅导员张然、科普工作者代表祖显弟、科学故事会大王刘翰辰、小小志愿者顾子宸共同举办了“生日”派对,分享节日蛋糕。系列展厅特色教育还举办了“共画外星人,畅想未来宇宙”、定制你的VR之旅、“绿水青山就是金山银山”专项辅导等活动。

一周后,学生和老师又见面了。

两项新展览开幕

“上次我们说到朱载堉想出了计算十二等程律的方法,解决了三分损益法不能完美返宫的问题。”老师说道。

“两弹一星”功勋人物肖像画展日前在科技馆开幕。展览展出了钱学森、周光召、朱光亚等23位“两弹一星”功勋奖章获得者的人物肖像。北京青年报记者在现场看到,23幅近一人高的肖像画在科技馆大厅里一字排开,画作既有中国传统水墨的特色,也有西方写实主义的表现形式,对大小观众都产生了强烈的吸引力。而且每幅画旁边还有二维码,扫描后可以对画作中的人物进行延伸阅读。一位带着孙子来科技馆的老人一边看,一边给孙子讲解人物故事,“他们是中国最了不起的人!”爷爷说。展览将持续到7月8日,免费向公众开放。

“嗯,朱载堉做出了不可替代的贡献。”

“爱科技的音乐王子:朱载堉科学艺术成就展”也在科技馆二楼恐龙广场开幕。朱载堉是我国古代优秀科技工作者。在为期一个月时间内,将展出这位早在明代就为我国夺得天文、音律、数学等领域多项世界第一的科学家的生平和成就。展览由中国科技馆与河南省沁阳市人民政府联合主办,“中科馆大讲堂”还将在6月16日推出由中国科技大学徐飞教授带来的科普讲座《朱载堉眼中的宇宙与乐律》。

“不过,三分损益法也有可取之处,就像牛顿力学定律虽然无法准确计算接近光速的运动,远不如狭义相对论准确,但它在日常工程计算中仍管用。”

科技馆科普剧免费向地方开放

“嗯,用朱载堉的十二等程律计算得到的第七律和五度非常接近,几乎听不出来。”

除了馆内活动,中国自然科学博物馆协会科技馆专业委员会还联合各地科技馆共同举办“与科技工作者共话未来”全国科技馆联合行动,启动仪式在宁波科学探索中心举办。启动仪式上,中国科技馆将其原创科普剧《皮皮的火星梦》整体资源免费向地方开放,并与全国15家科技场馆、企业签署资源共享意向协议。

“不过,反过来说,相对论毕竟是对牛顿经典定律的一次革命性突破,而朱载堉的十二等程律也是对三分损益法的历史性创新。”

这是中国科技馆作为国家馆发挥引领示范作用的重要举措,也是全年第二场“与科技工作者共话未来”全国科技馆联合行动的资源共享特色活动。今后,中科馆还将联合全国各地科技馆持续推出更多优质科普资源,共同推动科技馆行业优质发展,为公众提供更多、更好的科普活动,不断提升公民的科学素养。

“是的,可是我有一个问题,为什么偏偏是朱载堉而不是别人发现了十二等程律?”

亮点

“你为什么这样问呢?”老师问道

朱载堉科学艺术成就展:

“中国历史这么悠久,人才如此荟萃,朱载堉的前人就没有优秀的既懂音律又懂数学的奇才吗?这些人中难道就没有想到十二等程律吗?”

看“穿越”到明代的科学艺术巨星

“哦,你说的对,朱载堉之前确实有过许多数学音乐奇才,他们对这个问题进行了深入研究。”

西方有号称“穿越者”的艺术科学巨匠达芬奇,但是鲜少有人知道,中国古代也有一位“疑似穿越”的科学家和艺术巨星,他就是朱载堉,朱元璋的九世孙,明代科学家、律学家、历学家、音乐家。他一生经历坎坷,辞让了王位,致力于学术,被英国著名学者李约瑟称为“东方文艺复兴式的圣人”。他首创十二等程律的理论,掀起了世界音乐史上的一次革命,被尊为“律圣”。这个乐律理论至今仍在造福人类,几乎所有固定音高的键盘乐器都在用他的方法来调律。

“他们是谁呢?”

同时,朱载堉还在天文、历法、数学、物理、计量、舞蹈等广泛领域里,取得了当时多项世界第一的学术成果:首次在数学史上用算盘开方;首次完成九进制和十进制的小数换算;第一次找到了等比数列的求解方法和求解公式;在物理学史上首次发现管乐器的末端效应;他做排黍的实验,研究度量衡的变迁史,其研究方法一直影响着今天;准确地计算了回归年长度,推算了北京的地理纬度;测定洛阳地区的地磁偏角4°48′,是科学史上第一个有精确数值的磁偏角记载……

“例如汉代的京房,他用三分损益法一直计算下去,得到了53个音律。为了和甲子60相对应,他又额外算了7个音律,最终达到了60律。”

音乐与数学有什么样的关系呢?拨动琴弦,感受“弦的长度”和“音的高度”之间的关系:弦长一倍,得到一个低八度的音;弦长乘以2/3,就得到一个相差五度的音。聪明的古人发现了这个规律,用“三分损益”的算法,得出了一个八度内的十二个音高。

“哇!一个八度里有这么多音律。”

但是有一个问题,困扰了古代音乐家们上千年:黄钟在十二次折算之后不能还原。为什么呢?都是除不尽的数啊。无论做多少反复计算都不能最后获得音乐上八度的整数比值。这就是不能“返宫”之意。

“可是,还有更多的呢!钱乐之继续用三分损益法算下去了,居然算到了三百六十律。”

这个问题,朱载堉解决了。他不用“三分损益法”,而是直接将八度值开12次方,使一个八度内的十二律构成以为公比的等比数列。这么复杂的数据,朱载堉是怎么算的呢?他自己做了一套计算工具,用大算盘来开方。他算得=1.0594
6309 4359 2952 6456
1825,精确到了小数点以后24位(展览现场有演示开方)。通过这条全新的数学道路,朱载堉创建了一种前无古人的十二等程律,圆满地解决了人们几千年梦寐以求的旋宫问题。有了十二等程律,才有了现代的音乐舞台,用它调律的乐器,可以满足任意转调或变调的需要。众所周知,钢琴是欧洲文明的产物,而十二等程律就是它的灵魂。

“三百六十律?!我怀疑他的耳朵到底有多灵敏,能在一个八度内区分出三百六十个不同的音调。”

从物理声学上讲,律管的音响性能与其管长、管径的比值有着必然的联系。如果比值太大并超过一定限度,该管的基频会难以激发,造成不能成声的情形;反之,比值太小,同样会出现基频极不稳定乃至不能发音的现象。足见适于发音的律管,其管长与内径之比值是有一定范围的。一套依照最佳比值制成的律管,其发音最自然,共鸣最充分,音高最稳定,音乐性能无疑也是最优良的。为了找到“最佳比值”,朱载堉通过悉心研究,于《律吕精义》中首次提出十二等程律的异径管律校正方法:即在确定各律管长度的同时,还须调整律管内径的大小。

“但无论是京房还是钱乐之,他们都紧紧攥着三分损益法不放,每隔音律是下一个音律的2/3或者4/3倍数,因为分数是有理数,所以所有的音律都是有理数,从未敢跳出这个范围,去无理数的世界里去尝试一下,所以仍存在不能返宫和音律不等距的问题。”

朱载堉的“异径管律”理论问世以后,尤其在近代,受到中外学者的高度赞赏。刘复称它是“一做就做到登峰造极的地步的大发明”。李约瑟博士也认为,此项成果“可以被公正地看作是中国两千年来声学实验与研究的最高成就”。

“难道没有人跳出三分损益法去寻找答案呢?”

本组文/本报记者 雷嘉 供图/中国科技馆

“有,这个人是南北朝的何承天。你还记得吗?我们在谈论祖冲之的时候提到过何承天编制的历法,祖冲之对这个历法进行了修正。”

“哦,我想起来了。”

“何承天认为三分损益法之所以不能返宫是因为在起始的黄钟音和终止的清黄钟音之间存在音差,他把这个音差平均分配到十二律当中,在十二律的音差部分形成了一个等差数列,这可以说是抛弃五度相生法的一个例子。”

“哦,那它的效果怎样呢?”

“嗯,比较接近平均律。不过朱载堉认为何承天的做法是“强使还元,不能取信于人”。”

“哦,朱载堉的意思是这个反复原理上讲不通?”

“对。之后又有人对三分损益法进行了修正,例如刘焯的等差管律,王朴的纯正音阶律,蔡元达十八律。”

“等差数列?我们现在知道音律之间应该是等比数列吧?”

“对,隋朝的刘焯大胆违背三分损益法,构建了音律等差数列,虽然失败了,却为朱载堉打开最终的大门提供了借鉴,除了三分损益法其它方法也可以尝试。”

“朱载堉对前人方法存在的问题都了解吗?”

“他心里一清二楚。虽然新的律法仍是迷雾重重,不过朱载堉对自己信心十足。他把自己创建的方法称为新法,而之前的叫旧法。”

“新法比旧法好在哪里呢?”

“朱载堉认为新法相邻两个音律之间的比值更加准确,所以叫密率。后人把朱载堉的方法称为新法密率。”

“旧法往而不返,别造新法。” –《律吕精义·内篇》

“这个密率就是上次我们说过的1.059… 后面有24位小数吗?”

“对,就是我们上次说的对2先两次平方,然后开三次方得到的。”

“奇怪了,在加减乘除、乘方、开方这么多中运算方式中,朱载堉是怎么想到开方运算的,而且是先开平方、再开平方,然后开立方的?莫非他有神助?”
学生不解地问道。

“其实朱载堉本来也是相信三分损益法的,因为这个阵营声势浩大,为首的就是大名鼎鼎的学者朱熹。”

“哦,朱熹啊,一代理学宗师呢!” 学生惊叹道。

“嗯,朱载堉冥思苦想古代的音律,可是久久不得其解。一天他抚琴放松一下。在悠扬的琴声中,朱载堉思绪开始在音乐中飘散开来。长久的音乐训练让他的耳朵异常灵敏,他似乎不是用耳朵来听音乐,而是直接用心灵来体察音律。”

“这境界一般人难以达到。”

“琴声低沉时,他也情绪低落;琴声悠远,他的思绪也飘到了天尽头。当琴声再次低沉把他拉回现实时,他似乎觉察出琴音有些不对劲,可是又说不上来。个中滋味,恐怕只有自己心里清楚。”

“嗯。”

“朱载堉低头看自己手指抚琴的位置,刚好是三分损益法所教导的方法,千真万确,一点都不错。这是无数宗师教导的方法,历经千年传习。”

“对啊。”

“可是朱载堉惊奇地发现,这个方法的琴位和琴音就是有那么一点不合。”

“哦,到底哪里出了问题呢?”

“朱载堉知道,抚琴比吹奏笛子复杂得多,一手在特定位置按住琴弦,另一只手弹琴。当琴弦按下的位置稍有不同,琴音就变得不一样了。如果严格按照三分损益法来抚琴,有些音之间的音差大,而有些音之间的音差小,并不均等,所以音调听起来忽高忽低。”

“什么都逃不脱他那灵敏的耳朵!”

“朱载堉昼夜思索,试图穷尽这背后的原因。他把古代从春秋战国到汉唐一直到最近的音律经典书籍都拿出来,逐一审查,什么也没有找到。但是当他用算盘一一验算这些律法时,音律背后的数字在他的算盘上突然变得清晰起来。”

“他有了什么发现?”

“他突然发现,这些数字无论怎么计算,都无法穷尽。他终于豁然醒悟了!”

“醒悟到什么了?”

“这些都只是近似而已。虽然这些都是前人留下的珍宝,但朱载堉意志已决,不能膜拜这些先贤留下来的音律了。”

“近似?前人算得都不够准确?”

“嗯,朱载堉认为,二千年来所有人都把古代音律奉为圭垚,从未有人怀疑。这些记录在经典书籍中的方法都不可信。朱载堉下定决心、抛弃三分损益法,自己尝试新的计算方法。”

“但如果这样,他就孤单影只了。”

“嗯,确实如此。他遇到了前未有过的困难。朱载堉意识到,只有计算得极为精确才有可能解开音律的最终奥秘。可是现有的工具却不够用了。”

“那他怎么办?”

“他一不做二不休,干脆自己开始先发明了新的工具。他做了81档的双排算盘。加减乘除不够,他自己发明了开平方和开立方口诀。”

“嗯,遇山开路,遇水架桥。”

“他操起大算盘,打得噼里啪啦响。打完算盘,得到一个数字,他把新计算出来的数值标记在琴弦旁边,以和三分损益法得到的位置作比较。他在这个位置上弹一下,验证是不是那个音。”

“嗯,理论结合实践。”

“他没日没夜地计算,反反复复弹琴验证。连王宫里的乐工们都觉得王子这些天不对劲,茶饭不思。乐工们看到朱载堉在琴弦旁边标注的新音律,很是好奇,于是攀谈起来。”

“他们谈了什么?”

“朱载堉说这是他计算出来的新音律,并请教乐工如何找到最佳的音律位置。一位资深的乐工拱手说道:按照古法是“四折去一,三折去一”。说着无意听者有心,朱载堉眼前一亮,立刻在一堆凌乱的纸堆里找出一张算纸,上面有一串数字。他匆匆把这个数字打到算盘上,口中念念有词,指尖灵活地在圆润的算珠上飞来飞去。乐工们看呆了,悄悄地退到了一遍,面面相觑,默然不语。”

“这是怎么了?”

“一顿天昏地暗的日子之后,朱载堉的脸上挂上了久违的微笑。”

“他悟出什么了?”

“乐工所说的四折、三折,正是朱载堉想要的。”

“他想要的什么?”

“四折去一、三折去一里的“折”,本意是把琴弦折叠,是乐工在琴上找位置的口诀。但对于朱载堉这样的数学家来说,“折”意味着开方。”

“啊哈!一语双关,惊醒梦中人!”学生惊叹道。

“朱载堉惊喜地发现:四折就是开四次方(也就是开两次平方),三折就是开立方,先开四次方再开三次方,总共就是开十二次方,他去算盘上演算,果然能够完美返宫,得到了梦寐以求的十二等程律!”

“哇,巧了!”

“虽然思考的过程只有朱载堉心里清楚,不过在虚虚实实之中,朱载堉捅破了那一层窗户纸,找到了通往音乐殿堂的神秘数字,他激动地把这一段经历特意记录下来。”

臣尝宗朱熹之说,依古三分损益之法以求琴之律位。见律位与琴音不相协而疑之,昼夜思索,穷究此理。一旦豁然有悟,始知古四种律皆近似之音耳。此乃二千年间言律学者之所未觉。惟琴家按徽,其法四折去一,三折去一,俗工口传,莫知从来。疑必古人遗法如此,特记载于文字耳。—《律吕新说·卷一
密率相求第三》

“那接下来,朱载堉怎么验证他的十二等程律是对的呢?”

“既然要用实验验证,就必须有用十二等程律制成的乐器,还要有用十二等程律写成的乐曲。”

“朱载堉找人去制作乐器和谱曲了?”

“不,都是他一个人做的。”

“不会吧?!我听说数学学得好的,弹琴弹的好,手工很巧的,作曲有灵感的,但是同时把这些都摆弄的很厉害的,朱载堉是独一人。那他是怎么做的?”

“首先朱载堉自己制作了音高标准的律管。他采集了金门山竹,选取那些长节的小竹子,所有竹子都要粗细相等,然后做成三十六根长短不一的律管,正律十二代表中音,倍律十二代表低音,半律十二代表高音。”

“可是竹子不易长时间保存吧?”

“对,他还制作了铜制律管。在他著作里他详细描述了如何制作沙模、烘干、浇铸、钻孔、抛光、截断,最后镀金的一系列工序。”

“简直一个高级技工。”

“律管做成后,就可以做听音实验了,务必保证八度相和、五度相和。”

“嗯,然后就可以制作乐器并调音了?”

“对,之后朱载堉制作了各种十二等程律乐器,有编管、排箫、笛、笙、琴瑟、钟磬等。他创造了世界上种类最多的十二等程律乐器。除此之外,朱载堉还制作了均准来定音律。”

“均准是什么?”

“它是一件用于定音律的弦乐器,有多根弦,本身就是一件乐器,也是世界上最早的基于十二等程律的弦乐器。”

“哦,我想起来了,钢琴的里面其实也是琴弦。”

“对,而且现代钢琴也是按照等程律来定律的,所以朱载堉创造的均准可以说是现代钢琴调音定律的始祖。”
老师说道。

“难怪刘半农先生称赞到“全世界文明各国的乐器,有十分之八九都要依着他的方法造”。”

“在制作十二等程律标准律管的过程中,朱载堉又有了一个重要发现—管乐器的管口效应。这个发现在三百年后于十九世纪末竟然登上了著名的学术期刊《自然(Nature)》。”

“哦,什么能够吸引《Nature》的眼光呢?”

“我们知道,笛子、箫等管乐器有一个开口,这个开口会影响律管的声调大小。对于琴弦等弦乐器来说,弦长减半,音调刚好提高八度。但是对于开口的管乐器,管长减半,音调变化却不是八度。”

“那是几度呢?”

“朱载堉用各种长度和内径的律管做实验,并比较律管和弦乐器的差别。他发现开口律管长度减半,发音都将比正常的音调降低一律。管长减半,音调变化不是刚好八度,而是大七度。”

以竹或笔管制黄钟之律一样两枚,截其一枚分作两段,全律、半律各令一人吹之,声不必相合矣。此昭然可验也。

“什么原因引起的呢?”

“今天我们知道,这是因为开口律管内的空气柱要稍微超出管长,相当于管长变长,所以管音要降低一些。这就是管乐器的末端效应。朱载堉发现了这个现象,并且给出了校准的方法。”

管口效应

“这跟《Nature》杂志有什么关系呢?”

“到了清朝末年,江南制造局成立了编译馆,著名学者徐寿任总管。我们现在使用的元素周期表里的大部分元素名称,就是他们翻译过来了。编译局翻译的各国科学著作有英国物理学家John
Tyndall教授的《声学》(On
sounds)。徐寿研读了这本书后,亲自做实验,发现里面竟然有一个错误。”

清末科学家徐寿

“什么错误?”

“书中提到,开口管里的振动模式的个数与管子的长度成反比。换句话说,笛子长度减半,声调提高八度。徐寿认为这一点不准确,需要修正才行。”

“哦,这不是朱载堉曾经提到的管口效应吗?”

“对。为了验证他的观点,徐寿用开口的乐器做了实验,发现长度9英寸的黄铜管发出的声音频率并不是4.5寸的黄铜管频率的八度,而是要缩短到4寸才是八度关系。”

“嗯,这和朱载堉都观察到的现象是一样的。”

“徐寿把自己的实验结果写了下来,并写了一封信,请当时编译局的英国传教士傅雅兰把信件翻译为英文,分别寄给了John
Tyndall教授和《自然》杂志。”

“他在信里写了什么?”

“信中他解释了自己的疑惑和实验,并且说:中国明朝朱载堉已经观察到,律管减半或者加倍,音调变化八度这一规律仅对弦乐器有效,而对开口的管乐器则无效。”

“后来呢?”

“《自然》杂志收到来信后,邀请声学博士斯通Stone审稿。斯通博士对此很感兴趣,他把自己的意见附在信后,他写道:

“很有意思的是,证实这个鲜为人知的事实却是来自遥远的东方,而且是以如此简单的实验方法得到的。”

“是啊,朱载堉和徐寿的实验如此简易有效。”

“杂志编辑也在信上添加了按语,并且添加了标题“中国的声学”加以发表。”

“看来,发现对旧定律的真正有科学意义的现代修正却来自中国,并且以最原始的器具证明该修正是有依据的。”

“Acoustics in China”, Naure vol.23 (1880.11-1881.4), pp.448-449
(1881.3.10)

“嗯,几百年后朱载堉的发现终于在世界的另一头得到了响应。”

Nature刊登的《中国声学》


未完,待续…


参考文献

  • 刘半农《十二等程律发明者朱载堉》 1933
  • 李约瑟
    主编,《中国科学技术史》第四卷第一分册,科学出版社,上海古籍出版社
  • 程贞一 《黄钟大吕—中国古代和十六世纪声学成就》,上海科技教育出版社
    2007年8月
  • 戴念祖 《朱载堉—明代的科学和艺术巨星》人民出版社 2011
  • 卓仁祥《东西方文化视野中的朱载堉及其学术成就》,中央音乐学院出版社
    2009年5月第一版,隆玉麟译

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